Расходящиеся ряды

Название: Расходящиеся ряды
Автор: Харди Г.Г.
Издательство: Наука
Год издания: 1983
Страниц: 505
Язык: русский
Формат: pdf
Качество: хорошее
Размер: 9.5 Мб
Настоящая книга представляет собой монографию, посвященную суммированию расходящихся рядов. Она содержит обширный исторический обзор вопроса, краткое введение в общую теорию суммирования рядов и подробное исследование ряда конкретных методов суммирования (методов Чезаро, Абеля, Вороного, Эйлера и др.).
Кроме того, здесь рассматриваются - приложения теории к задаче перемножения рядов, к исследованию формулы суммирования Эйлера-Маклорена, к аналитическому продолжению функций, к суммированию рядов Фурье и к нахождению значений определенных интегралов.
Книга рассчитана на математиков - научных работников, аспирантов и студентов старших курсов - и требует для своего чтения знания теории функций действительного и комплексного переменного. В некоторые своих разделах она может быть также полезна 'для тех инженеров, которые встречаются с расходящимися рядами.

Оглавление

Глава I. Введение
1.1. Сумма ряда
1.2. Некоторые вычисления с расходящимися рядами
1.3. Первоначальные определения
1.4. Регулярность метода
1.5. Расходящиеся интегралы и обобщенные пределы функций непрерывного переменного
1.6. Некоторые исторические замечания
1.7. Замечания о британских аналитиках первой половины девятнадцатого века
Примечания к главе I
Глава II. Несколько исторических примеров
2.1. Введение. Эйлер и функциональное уравнение дзета-функции Римана
2.2. Функциональное уравнение для
2.3. Эйлерова проверка
2.4. Суммирование ряда
2.5. Асимптотическое поведение ряда
2.6. Численные расчеты Фурье и его теорема
2.7. Теорема Фурье
2.8. Первая формула Фурье
2.9. Другие формы коэффициентов и рядов
2.10. Законность формул Фурье. Показательный ряд Хэвисайда
2.11. Хэвисайд о расходящихся рядах
2.12. Обобщенный показательный ряд
2.14. Обобщенный биномиальной ряд
Примечания к главе II
Глава III. Общие теоремы
3.1. Линейные преобразования
3.2. Регулярные преобразования
3.3. Доказательство теорем 1 и 2
3.4. Доказательство теоремы 3
3.5. Варианты и аналоги
3.6. Положительные преобразования
3.7. Теорема Кноппа
3.8. Одно применение теоремы 2
3.9. Разбавление рядов
Примечания к главе III
Глава IV. Частные методы суммирования
4.1. Методы Вороного
4.2. Регулярность и совместность методов Вороного
4.3. Включение
4.4. Равносильность
4.5. Еще одна теорема о включении
4.6. Метод Эйлера
4.7. Методы Абеля
4.8. Теорема о включении для абелевских средних
4.9. Комплексные методы
4.10. Суммируемость ряда 1 - 1 + 1 - 1 + ... отдельными методами Абеля
4.11. Методы Линделефа и Миттаг-Леффлера
4.12. Методы суммирования, определяемые целыми функциями
4.13. Моментные методы
4.14. Теорема совместности
4.15. Методы, неэффективные для расчета
4.16. Нормальные средние Рисса
4.17. Методы, возникшие под влиянием теории рядов Фурье
4.18. Общий принципы
Примечания к главе IV
Глава V. Арифметические средние
5.1. Введение
6.1. Методы Гельдера
5.1. Элементарные теоремы относительно суммируемости по Гельдеру
5.2. Методы Чезаро
5.3. Средние нецелого порядка
5.4. Теорема о свертках
5.5. Простейшие теоремы относительно суммируемости по Чезаро
5.6. Теорема равносильности
5.7. Теорема Мерсера и доказательство Шура теоремы равно
сильности
5.8. Другие доказательства теоремы Мерсера
5.9. Бесконечные пределы
5.10. Суммируемость по Чезаро и по Абелю
5.11. Чезаровские средние как средние Вороного
5.12. Интегралы
5.13. Теоремы о суммируемых интегралах
5.14. Риссовские арифметические средние
5.15. Равномерно распределенные последовательности
5.18. Равномерная распределенность последовательности
Примечания к главе V
Глава VI. Арифметические средние
6.1. Теоремы тауберова типа для методов Чезаро
6.2. Медленно колеблющиеся и медленно убывающие функции
6.3. Другое условие тауберова типа
6.4. Теоремы о выпуклости
6.5. Множители сходимости
6.6. Множитель
6.7. Другое условие суммируемости
6.8. Интегралы
6.9. Биномиальный ряд
Примечания к главе VI
Глава VII. Теоремы тауберова типа для степенных рядов
7.1. Теоремы абелева и тауберова типов
7.2. Первая теорема Таубера
7.3. Вторая теорема Таубера
7.4. Применения к общим рядам Дирихле
7.5. Более глубокие теоремы тауберова типа
7.6. Доказательство теорем 96 и 96а
7.7. Доказательство теорем 91 и 91а
7.8. Дальнейшие замечания о связях между
7.10. Медленно колеблющиеся и медленно убывающие функции
7.11. Другое обобщение теоремы 98
7.12. Метод Харди и Литтльвуда
7.13. Теорема о "больших показателях"
Примечания к главе VII
Глава VIII. Методы Эйлера и Бореля
8.1. Введение
8.3. Простые свойства
8.4. Формальные связи между методами Эйлера и Бореля
8.5. Методы Бореля
8.6. Нормальная, абсолютная и регулярная суммируемость
8.7. Теоремы абелева типа для метода суммирования Бореля
8.8. Аналитическое продолжение функции, регулярной вначале, многоугольник суммируемости
8.9. Ряды, представляющие функции с особенностью в начале
8.10. Аналитическое продолжение другими методами
8.11. Суммируемость некоторых асимптотических рядов
Примечания к главе VIII
Глава IX. Методы Эйлера и Бореля (2
9.1. Элементарные леммы
9.2. Доказательство теоремы 137
9.3. Доказательство теоремы 139
9.4. Еще одна элементарная лемма
9.5. Теорема Островского о сверхсходимости
9.6. Теоремы тауберова типа для метода Бореля
9.7. Теоремы тауберова типа (продолжение)
9.8. Примеры рядов, не суммируемых
9.9. Теорема противоположного характера
9.10. Метод суммирования
9.11. Суммируемость
9.12. Дальнейшие замечания о теоремах 150-155
9.13. Основная теорема тауберова типа
9.14. Обобщения
9.15. Ряд
9.16. Методы Валирона
Примечания к главе IX
Глава X. Умножение рядов
10.1. Формальные правила умножения рядов
10.2. Классические теоремы об умножении по правилу
10.3. Умножение суммируемых рядов
10.4. Другие теоремы о сходимости произведения рядов
10.5. Дальнейшие применения теоремы 170
10.6. Знакочередующиеся ряды
10.7. Формальное перемножение рядов
10.8. Умножение интегралов
10.9. Суммируемость по Эйлеру
10.10. Суммируемость по Борелю
10.11. Правило умножения Дирихле
10.12. Ряды, бесконечные в обоих направлениях
10.13. Аналоги теорем Коши и Мертенса
10.14. Дальнейшие теоремы
10.15. Аналог теоремы Абеля
Примечания к главе X
Глава XI. Хаусдорфовские средние
11.1. Преобразование В
11.2. Выражение преобразований (Е, q) и (С, 1) через В
11.3. Общее хаусдорфовское преобразование
11.4. Общие гельдеровские и чезаровские преобразования как р-преобразования
11.5. Условия регулярности вещественных хаусдорфовских преобразований
11.6. Абсолютно монотонные последовательности
11.7. Окончательный вид условий регулярности
11.8. Моменты
11.9. Теорема Хаусдорфа
11.10. Включение и равносильность методов
11.11. Теорема Мерсера и равносильность гельдеровских и чезаровских средних
11.12. Некоторые частные случаи
11.13. Логарифмические случаи
11.14. Экспоненциальный случай
11.15. Ряд Лежандра для xW
11.16. Моменты для функции специальных классов
11.17. Одно неравенство для хаусдорфовских средник
11.18. Непрерывные преобразования
11.19. Квази-хаусдорфовские преобразования
11.20. Регулярность квази-хаусдорфовского преобразования
11.21. Примеры
Примечания к главе XI
Глава XII. Тауберовы теоремы Винера
12.1. Введение
12.2. Условие Винера
12.3. Леммы о преобразованиях Фурье
12.4. Леммы относительно класса U
12.5. Заключительные леммы
12.6. Доказательство теорем 221 и 220
12.7. Вторая теорема Винера
12.8. Теоремы для интервала (0, со)
12.9. Некоторые специальные ядра
12.10. Применение общих теорем к некоторым специальным ядрам
12.11. Применения к теории простых чисел
12.12. Односторонние условия
12.13. Теорема Виджаярагавана
12.14. Доказательство теоремы 238
12.15. Суммируемость по Борелю
12.16. Суммируемость (R, 2)
Примечания к главе XII
Глава XIII. Формула суммирования Эйлера-Маклорена
13.1. Введение
13.2. Числа Бернулли и многочлены Бернулли
13.3. Ассоциированные периодические функции
13.4. Знаки функций уп(х)
13.5. Формула суммирования Эйлера-Маклорена
13.6. Пределы при и -> оо
13.7. Знак и величина остаточного члена
13.8. Пуассоновское доказательство формулы Эйлера-Маклореиа
13.9. Об одной формуле Фуръе
13.10. Случай и дзета-функция Римана
13.11. Случай и теорема Стерлинга
13.12. Обобщение формулы Эйлера-Маклорена
13.13. Другие формулы для С
13.14. Исследование формулы Эйлера-Маклорена посредством комплексного интегрирования
13.15. Суммируемость ряда Эйлера-Маклорена
13.16. Дополнительные замечания
13.17. Определение суммы расходящегося ряда
Примечания к главе XIII
Приложение I. О вычислении некоторых определенных интегралов
с помощью расходящихся рядов
Приложение II. Ядра Фурье некоторых методов суммирования
Приложение III. О суммируемости по Римаиу и по Абелю
Приложение IV. О суммируемости по Ламберту и по Ингаму
Приложение V. Две теоремы Картрайта. Методы суммирования С. Н. Бернштейна и В. Рогозинского